解題技巧

國小二年級上學期

小二上🔢 數與量1 / 2

直式加法：進位怎麼寫

個位滿 10 → 往十位進 1

數字對齊，從個位開始加。某一位加起來滿 10，就把 10 換成前一位的 1。

小二上🔢 數與量2 / 2

直式減法：借位怎麼做

個位不夠減 → 向十位借 1（借來的 1 等於 10）

從個位開始減。上面的數不夠減時，向左邊那一位借 1，借來的 1 到了這一位就變成 10。

國小三年級上學期

小三上🔢 數與量1 / 1

有餘數的除法：怎麼驗算

被除數 = 除數 × 商 + 餘數（餘數必須比除數小）

除不盡時會剩下餘數。算完一定要檢查兩件事：餘數比除數小，而且乘回去要等於原本的數。

國小三年級下學期

小三下📐 空間與形狀1 / 1

長方形面積：先確認單位一致

長方形面積 = 長 × 寬

面積是「鋪滿要幾個 1 平方公分」。套公式前，長和寬的單位一定要先化成一樣。

國小五年級上學期

小五上🔢 數與量1 / 2

異分母分數相加：先通分

a/b + c/d → 先把分母變成同一個數，再加分子

分母不同的分數不能直接加。要先找到共同的分母（通常用最小公倍數），把兩個分數都換過去。

小五上📐 空間與形狀2 / 2

三角形面積：別忘了除以 2

三角形面積 = 底 × 高 ÷ 2

三角形是平行四邊形的一半。找高的時候要找「和底垂直」的那條線，不是斜邊。

國小六年級上學期

小六上📐 空間與形狀1 / 1

圓面積：先確認給的是半徑還是直徑

圓面積 = 半徑 × 半徑 × 圓周率

圓面積公式用的是半徑。題目常常給直徑，要先除以 2 才能套公式——這是最常見的失分點。

國小六年級下學期

小六下🔢 數與量1 / 1

速率三角形：路程、時間、速率互求

速率 = 路程 ÷ 時間　｜　路程 = 速率 × 時間　｜　時間 = 路程 ÷ 速率

三個量知道兩個就能求第三個。關鍵是單位要對得上：時速配小時，分速配分鐘。

國中一年級上學期

國一上🧮 代數1 / 1

移項解一元一次方程式

ax + b = c → ax = c − b → x = (c − b) / a

把含 x 的項留在左邊、數字移到右邊。搬過等號一定要變號。

國中一年級下學期

國一下🧮 代數1 / 1

加減消去法解聯立方程式

湊出相同（或相反）的係數 → 相減（或相加）消掉一個未知數

兩個未知數需要兩條式子。先把其中一個未知數的係數湊成一樣，再相加減把它消掉。

國中二年級上學期

國二上🧮 代數1 / 5

十字交乘法因式分解

x² + bx + c = (x + p)(x + q)，其中 p + q = b、p × q = c

找兩個數，相乘等於常數項、相加等於一次項係數。先看符號可以少試很多組。

國二上🧮 代數2 / 5

一元二次方程式的公式解

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

因式分解不出來時用公式解。代入前一定要先整理成 ax² + bx + c = 0。

國二上🧮 代數3 / 5

因式分解的固定順序

① 提公因式 → ② 套乘法公式 → ③ 十字交乘 → ④ 分組分解

照順序走就不會卡。九成分解不出來的題目，都是因為跳過了第一步。

國二上🧮 代數4 / 5

配方法解一元二次方程式

兩邊同加「一次項係數一半的平方」

把左邊湊成完全平方再開根號。首項係數不是 1 要先除，開根號別忘了 ±。

國二上🧮 代數5 / 5

用判別式判斷根的個數

D = b² − 4ac

不解方程式就知道有幾個實根。動手前一定要先整理成標準式，尤其注意 c 的符號。

國中二年級下學期

國二下📐 空間與形狀1 / 1

畢氏定理求邊長

a² + b² = c²（c 是斜邊）

看到直角就想畢氏定理。動手前先確認哪一條是斜邊——它永遠對著直角、也最長。

國中三年級上學期

國三上📐 空間與形狀1 / 3

用相似三角形求未知邊

對應邊成比例：a/a' = b/b'

先確定兩個三角形相似（通常靠 AA），再把對應邊配對成比例式，交叉相乘求解。

國三上📈 函數2 / 3

配方求拋物線頂點

y = a(x − h)² + k，頂點 (h, k)

把展開式配成頂點式，就能一眼看出頂點與最大最小值。括號裡的數要變號才是 x 座標。

國三上📐 空間與形狀3 / 3

作弦心距求弦長

(半弦)² + (弦心距)² = r²

看到弦就從圓心作垂線。垂線平分弦，並切出一個可用畢氏定理的直角三角形。

高中一年級上學期

高一上🧮 代數1 / 3

綜合除法：快速求餘式與商

f(x) ÷ (x − a)：餘式 = f(a)

只寫係數的長除法。降冪排好、缺項補 0，之後每一步都是「乘 a 再加下一個係數」。

高一上📈 函數2 / 3

對數律與換底

log(MN) = logM + logN　｜　log_a b = log b / log a

對數把乘除降階成加減。底數不同時先換底，就能合併運算。

高一上🧮 代數3 / 3

符號表解高次不等式

求根 → 標數線 → 從最右段往左逐段變號

因式分解求根把數線切段，從最右邊（全正）往左走，每過一個奇數重根就變號一次。

高中二年級上學期

高二上📐 空間與形狀1 / 3

正弦定理還是餘弦定理？

有夾角用餘弦　｜　邊角成對用正弦

看題目給的條件決定用哪一條。SAS 和 SSS 用餘弦定理，AAS 和 ASA 用正弦定理。

高二上📐 空間與形狀2 / 3

用內積求向量夾角

cosθ = (a·b) / (|a||b|)

內積除以兩向量長度的乘積，就得到夾角的餘弦。內積為 0 代表垂直。

高二上📈 函數3 / 3

正弦疊合求最值

a·sinθ + b·cosθ = √(a²+b²)·sin(θ+φ)

把 sin 和 cos 的混合式合併成單一個正弦波，最大值就是振幅 √(a²+b²)。

高中二年級下學期

高二下🧮 代數1 / 1

高斯消去法解三元聯立

增廣矩陣 → 列運算化上三角 → 回代

把係數寫成增廣矩陣，用列運算逐步消掉下三角的元素，再由下往上回代。

高中三年級上學期

高三上∫ 微積分1 / 2

用微分求極值

解 f'(x) = 0 找臨界點，再用 f'' 或增減表判斷

最佳化問題的標準流程。閉區間的最大最小值，別忘了端點也要比。

高三上∫ 微積分2 / 2

高中三年級下學期

高三下∫ 微積分1 / 3

用定積分求面積

∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)

先求反導函數，再代上下限相減。曲線在 x 軸下方時要分段取絕對值。

高三下∫ 微積分2 / 3

變數代換積分

令 u = g(x)，du = g′(x)dx

看到「某個式子和它的導數同時出現」就代換。定積分別忘了上下限也要換。

高三下∫ 微積分3 / 3

分部積分：用 LIATE 選 u

∫u dv = uv − ∫v du

選對 u 才會愈積愈簡單。優先序 LIATE：對數 > 反三角 > 多項式 > 三角 > 指數。