數學概念與公式總表
小一到高三、24 個學期共 232 個概念。每一個都附白話解釋、適用時機、常見錯誤與例題詳解。
10 以內的數、合成分解與加減——建立數感的第一步。
20 以內加減、進位與退位，還有長度和時鐘的初體驗。
二位數加減直式、乘法的意義與九九乘法表起步。
乘法表完成、公分與公尺、簡單分數與時間計算。
三位數乘除、除法的意義、周長與角的認識。
分數與小數初步、面積、重量與容量的單位換算。
多位數乘除、四則運算規則、垂直與平行。
分數加減、小數乘除、三角形與四邊形的性質。
因數與倍數、最大公因數、擴分約分與異分母加減。
分數乘除、小數四則、體積、面積公式與線對稱。
比與比值、正比與反比、圓周長與圓面積、柱體體積。
縮放與比例尺、速率、統計圖表與機率初步——銜接國中。
負數登場、指數與質因數分解、一元一次方程式——代數的起點。
正負數與數線…−3 −2 −1 0 1 2 3…（右邊永遠比左邊大）國一上整數的四則運算同號相乘得正，異號相乘得負國一上指數與科學記號aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ｜ 科學記號 = a × 10ⁿ（1 ≤ a < 10）國一上質因數分解60 = 2² × 3 × 5國一上代數式與化簡同類項才能合併：3x + 5x = 8x國一上一元一次方程式移項變號，最後化成 x = 某數國一上一次方程式的應用設未知數 → 找等量關係 → 列式 → 解 → 檢驗國一上有理數與數線有理數 = 可以寫成 a/b 的數（b ≠ 0）國一上整除與判別法3 的倍數：各位數字和是 3 的倍數國一上質數與合數判斷 n 是否為質數：只要試除到 √n國一上最大公因數與最小公倍數的應用分裝、裁切 → GCD ｜ 週期、同時發生 → LCM國一上含分數與括號的一次方程式兩邊同乘分母的最小公倍數 → 去分母國一上
聯立方程式、直角坐標、不等式與統計圖表。
二元一次聯立方程式代入消去法 ／ 加減消去法國一下直角坐標平面P(x, y)：先橫後縱國一下二元一次式的圖形ax + by = c 的圖形是一條直線國一下一元一次不等式乘或除以負數時，不等號要反向國一下比例式與連比a : b = c : d ⟺ ad = bc（內項乘積 = 外項乘積）國一下次數分配與統計圖表相對次數 = 該組次數 ÷ 總次數國一下代入消去法從一式解出一個未知數，代進另一式國一下聯立方程式的應用兩個未知量 → 找兩個等量關係 → 列兩式國一下斜率的意義斜率 = 垂直變化量 ÷ 水平變化量 = Δy/Δx國一下坐標平面上的圖形中點 = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)國一下直方圖與次數分配折線圖直方圖的長條相鄰不留空隙國一下不等式的應用至少 → ≥ ｜ 最多、不超過 → ≤國一下
乘法公式、平方根、因式分解、一元二次方程式與數列。
乘法公式(a+b)² = a² + 2ab + b² ｜ (a−b)² = a² − 2ab + b² ｜ (a+b)(a−b) = a² − b²國二上多項式的運算次數 = 最高次項的指數國二上平方根與根式√a × √b = √(ab) ｜ √(a²b) = a√b國二上因式分解先提公因式 → 再套公式 → 最後十字交乘國二上一元二次方程式x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a國二上等差數列與級數aₙ = a₁ + (n−1)d ｜ Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2國二上提公因式ma + mb = m(a + b)國二上用乘法公式因式分解a² − b² = (a+b)(a−b) ｜ a² ± 2ab + b² = (a ± b)²國二上十字交乘法x² + bx + c = (x+p)(x+q)，p+q = b、pq = c國二上分組分解法ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)國二上配方法解一元二次方程式x² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²國二上判別式與根的個數D = b² − 4ac：D>0 兩相異實根、D=0 重根、D<0 無實根國二上一元二次方程式的應用設未知數 → 找等量關係 → 列二次式 → 解 → 檢驗合理性國二上
全等與相似的基礎、平行線性質、四邊形，還有畢氏定理。
平行線的性質同位角相等 ｜ 內錯角相等 ｜ 同側內角互補國二下三角形的全等SSS ／ SAS ／ ASA ／ AAS ／ RHS國二下畢氏定理a² + b² = c²（c 是斜邊）國二下四邊形的性質平行四邊形：對邊平行且相等、對角相等、對角線互相平分國二下三角形的心外心：三邊中垂線交點｜內心：三角平分線交點｜重心：三中線交點國二下幾何證明的寫法每一步都要寫「結論 ← 理由」國二下等腰三角形的性質與判定等邊對等角 ｜ 三線合一國二下中垂線與角平分線中垂線上的點到兩端點等距 ｜ 角平分線上的點到兩邊等距國二下三角形的三邊關係|a − b| < c < a + b ｜ 大角對大邊國二下外心與外接圓三邊中垂線交點；到三頂點等距國二下內心與內切圓三角平分線交點；到三邊等距 ｜ 面積 = r × s（s 為半周長）國二下重心與中線重心把中線分成 2 : 1（靠頂點的是 2）國二下全等證明的常見題型找兩個三角形 → 湊齊三個條件 → 判定全等 → 導出對應相等國二下
相似形、圓的性質與二次函數——會考的重頭戲。
相似形對應角相等、對應邊成比例國三上相似三角形的判定AA ／ SAS ～ ／ SSS ～國三上圓的角度性質圓周角 = 同弧圓心角 ÷ 2 ｜ 半圓的圓周角 = 90°國三上圓的切線與位置關係切線 ⟂ 過切點的半徑國三上二次函數 y = ax²y = ax²：a > 0 開口向上，a < 0 開口向下國三上拋物線的平移與頂點y = a(x − h)² + k，頂點 (h, k)國三上弧長與扇形面積弧長 = 圓周 × (θ/360) ｜ 扇形面積 = 圓面積 × (θ/360)國三上弦與弦心距的性質垂直於弦的半徑平分弦 ｜ (半弦)² + (弦心距)² = r²國三上圓內接四邊形對角互補：∠A + ∠C = 180°國三上兩圓的位置關係比較連心線長 d 與 R+r、R−r國三上
統計量、盒狀圖、機率與立體圖形，收尾銜接高中。
平均數、中位數與眾數平均數 = 總和 ÷ 個數 ｜ 中位數 = 排序後最中間國三下四分位數與盒狀圖四分位距 IQR = Q3 − Q1國三下機率的計算P(A) = 符合的情況數 ÷ 全部情況數（0 ≤ P ≤ 1）國三下立體圖形的體積與表面積柱體 = 底面積 × 高 ｜ 錐體 = 底面積 × 高 ÷ 3 ｜ 球 = 4πr³/3國三下代數推理與證明任意偶數 = 2n ｜ 任意奇數 = 2n + 1（n 為整數）國三下會考數學的解題策略讀題 → 標關鍵 → 選工具 → 算 → 檢查合理性國三下樹狀圖與列表法沿著樹枝走到底 = 一種結果；分支機率相乘國三下取出放回與不放回放回：每次總數不變 ｜ 不放回：第二次總數少 1國三下公平性與期望次數期望次數 = 總次數 × 機率國三下累積次數與百分位數第 p 百分位數 = 有 p% 的資料在它以下國三下統計圖表的選用與誤導比較多少 → 長條圖 ｜ 看趨勢 → 折線圖 ｜ 看佔比 → 圓形圖國三下立體圖形的展開圖與截面展開圖攤平 → 算表面積 ｜ 截面 → 看切的方向國三下
實數、二次不等式、多項式除法，還有指數與對數——高中代數的地基。
實數與絕對值|x − a| = x 到 a 的距離 ｜ |x| < c ⟺ −c < x < c高一上一元二次不等式先因式分解求根，再看拋物線在 x 軸上方還下方高一上餘式定理與綜合除法f(x) ÷ (x − a) 的餘式 = f(a)高一上因式定理與有理根f(a) = 0 ⟺ (x − a) 是 f(x) 的因式高一上有理數指數a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) ｜ a⁻ⁿ = 1/aⁿ高一上對數與對數律log_a b = c ⟺ aᶜ = b ｜ log(MN) = log M + log N高一上指數函數與對數函數的圖形y = aˣ 與 y = log_a x 對稱於 y = x高一上根式運算與分母有理化1/√a = √a/a ｜ 1/(√a+√b) = (√a−√b)/(a−b)高一上多項式函數的圖形與勘根定理f(a)·f(b) < 0 ⟹ (a, b) 之間至少有一個實根高一上高次不等式與分式不等式因式分解求根 → 標在數線上 → 用符號表判斷各區間高一上算術平均與幾何平均不等式(a + b)/2 ≥ √(ab)，等號成立於 a = b高一上常用對數：首數與尾數log N = 首數（整數）+ 尾數（0 ≤ 尾數 < 1）高一上指數與對數方程式同底比較指數 ｜ 取對數降階 ｜ 解完必須驗真數 > 0高一上
數列級數、排列組合、機率與數據分析，學測的常客。
等比數列與級數aₙ = a₁rⁿ⁻¹ ｜ Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r) ｜ S∞ = a₁/(1−r)（|r|<1）高一下數學歸納法證 n = 1 成立 → 證「n = k 成立 ⟹ n = k+1 成立」高一下排列P(n, r) = n! / (n−r)!高一下組合C(n, r) = n! / (r!(n−r)!) ｜ C(n, r) = C(n, n−r)高一下二項式定理(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ高一下條件機率與獨立事件P(A|B) = P(A∩B) / P(B)高一下相關係數與迴歸直線−1 ≤ r ≤ 1 ｜ 迴歸直線通過 (x̄, ȳ)高一下Σ 符號與求和公式Σk = n(n+1)/2 ｜ Σk² = n(n+1)(2n+1)/6高一下遞迴數列aₙ₊₁ = p·aₙ + q → 用不動點化成等比高一下環狀排列與重複排列環狀 (n−1)! ｜ 重複選 nʳ ｜ 有重複元素 n!/(p!q!…)高一下貝氏定理P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)高一下獨立試驗與二項機率P(恰好 k 次成功) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ高一下標準差與資料的離散程度σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / n)高一下
三角函數、直線與圓、平面向量——高二上的三大主軸。
正弦定理與餘弦定理a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R ｜ c² = a² + b² − 2ab·cosC高二上弧度與三角函數π 弧度 = 180° ｜ 弧長 = rθ ｜ 扇形面積 = (1/2)r²θ高二上三角函數的圖形y = A·sin(Bx + C) + D：振幅 |A|、週期 2π/|B|高二上和角公式與倍角公式sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB ｜ cos(A+B) = cosA·cosB − sinA·sinB高二上直線方程式與點到直線距離d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)高二上圓方程式(x−h)² + (y−k)² = r²，圓心 (h,k)、半徑 r高二上平面向量與內積a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂高二上三角恆等式與化簡sin²θ + cos²θ = 1 ｜ 1 + tan²θ = sec²θ高二上三角方程式先化成單一三角函數 → 求主值 → 加上週期高二上正弦疊合a·sinθ + b·cosθ = √(a²+b²)·sin(θ + φ)高二上向量的分解與投影a 在 b 上的投影長 = (a·b)/|b|高二上兩直線的夾角與直線族tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|高二上圓與直線的關係與切線d = r 相切 ｜ 切線斜率 = 半徑斜率的負倒數高二上
空間向量、平面方程式、矩陣與圓錐曲線，從平面走進立體。
空間坐標與空間向量|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²) ｜ a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃高二下外積與體積|a×b| = |a||b|sinθ = 平行四邊形面積高二下空間中的平面方程式ax + by + cz + d = 0，法向量 n = (a, b, c)高二下矩陣與線性方程組det = ad − bc；行列式為 0 時無唯一解高二下矩陣與線性變換旋轉矩陣 [[cosθ, −sinθ], [sinθ, cosθ]]高二下圓錐曲線橢圓 x²/a² + y²/b² = 1 ｜ 雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1高二下空間直線方程式參數式 (x,y,z) = (x₀,y₀,z₀) + t(a,b,c)高二下空間中的距離與夾角兩平面夾角 = 法向量夾角 ｜ 線面夾角 = 90° − 方向與法向量的夾角高二下反矩陣與克拉瑪公式A⁻¹ = (1/det A)·adj A ｜ x = detₓ / det高二下高斯消去法用列運算化成上三角形，再由下往上回代高二下拋物線的焦點與準線y² = 4cx：焦點 (c, 0)、準線 x = −c高二下橢圓與雙曲線的性質離心率 e = c/a：橢圓 e < 1、拋物線 e = 1、雙曲線 e > 1高二下
複數、極限與微分——微積分正式登場。
複數與複數平面i² = −1 ｜ z = a + bi ｜ |z| = √(a² + b²)高三上極式與棣美弗定理zⁿ = rⁿ(cos nθ + i·sin nθ)高三上極限與連續lim(x→a) f(x) = L；連續 ⟺ 極限值 = 函數值高三上導數的定義f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h高三上微分法則(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ｜ (uv)' = u'v + uv' ｜ 鏈鎖律 (f(g))' = f'(g)·g'高三上函數的極值與圖形f'(x) = 0 找臨界點；f''(x) 判斷凹向高三上方程式的複數根與根與係數α + β = −b/a ｜ αβ = c/a高三上數列的極限與收斂|r| < 1 時 rⁿ → 0 ｜ 夾擠定理高三上連續與中間值定理f 在 [a,b] 連續且 f(a)·f(b) < 0 ⟹ (a,b) 內有根高三上連鎖律與隱函數微分[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)高三上相關變化率找出關係式 → 兩邊對時間 t 微分 → 代入瞬間值高三上微分的最佳化應用設變數 → 寫目標函數 → 用限制式消成單變數 → 微分求極值高三上
積分及其應用、期望值與常態分布，收尾接大學。
反導函數與不定積分∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）高三下定積分與面積∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)高三下積分的應用旋轉體體積 V = π∫[a,b] [f(x)]² dx高三下期望值與變異數E(X) = Σ xᵢpᵢ ｜ Var(X) = E(X²) − [E(X)]²高三下常態分布68–95–99.7 法則高三下統計推論初步信賴區間 = 樣本統計量 ± 誤差界限高三下變數代換積分法∫f(g(x))·g′(x)dx = ∫f(u)du，令 u = g(x)高三下分部積分法∫u dv = uv − ∫v du高三下兩曲線之間的面積面積 = ∫[a,b] (上方函數 − 下方函數) dx高三下定積分的平均值平均值 = (1/(b−a))·∫[a,b] f(x)dx高三下二項分布與常態近似E(X) = np ｜ Var(X) = np(1−p)高三下抽樣分布與中央極限定理樣本平均的標準差 = σ/√n高三下
依主題找
108 課綱把數學分成這幾個主題軸：
🔢 數與量🧮 代數📐 空間與形狀📈 函數📊 資料與不確定性∫ 微積分