高中二年級上學期 數學重點

正弦定理與餘弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R　｜　c² = a² + b² − 2ab·cosC

任意三角形都能解。給的條件有沒有「夾角」，決定該用哪一條定理。

直線方程式與點到直線距離

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

斜率描述傾斜程度；點到直線距離公式要先把直線寫成一般式 ax + by + c = 0。

圓方程式

(x−h)² + (y−k)² = r²，圓心 (h,k)、半徑 r

標準式一眼看出圓心半徑。給的是展開式就先配方，別硬讀。

平面向量與內積

a·b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

向量有大小也有方向。內積把兩個向量變成一個數，可以拿來求夾角與判斷垂直。

向量的分解與投影

a 在 b 上的投影長 = (a·b)/|b|

把一個向量拆成「沿著某方向」與「垂直該方向」兩份，這就是物理分力的數學。

兩直線的夾角與直線族

tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)|

夾角由兩斜率決定；通過兩直線交點的所有直線可以用一個參數表示。

圓與直線的關係與切線

d = r 相切　｜　切線斜率 = 半徑斜率的負倒數

用圓心到直線的距離跟半徑比，比聯立解方程式快得多也安全得多。

📈 函數

弧度與三角函數

π 弧度 = 180°　｜　弧長 = rθ　｜　扇形面積 = (1/2)r²θ

弧度用「弧長是半徑的幾倍」量角度。換成弧度後，弧長與面積公式變得極簡潔。

三角函數的圖形

y = A·sin(Bx + C) + D：振幅 |A|、週期 2π/|B|

四個參數各管一件事：A 管高矮、B 管疏密、C 管左右、D 管上下。

和角公式與倍角公式

sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinB　｜　cos(A+B) = cosA·cosB − sinA·sinB

sin 展開時符號同向、cos 展開時符號相反——這個「反號」是最常錯的地方。

三角恆等式與化簡

sin²θ + cos²θ = 1　｜　1 + tan²θ = sec²θ

所有恆等式都從單位圓那一條長出來。化簡的策略是「全部換成 sin 和 cos」。

三角方程式

先化成單一三角函數 → 求主值 → 加上週期

三角函數有週期，所以解有無限多個。務必看清楚題目要求的範圍。

正弦疊合

a·sinθ + b·cosθ = √(a²+b²)·sin(θ + φ)

兩個同頻率的波疊起來還是同頻率的波，振幅變成 √(a²+b²)。