高中一年級下學期數學重點
數列級數、排列組合、機率與數據分析，學測的常客。
共 13 個概念
🧮 代數
等比數列與級數
aₙ = a₁rⁿ⁻¹ ｜ Sₙ = a₁(1−rⁿ)/(1−r) ｜ S∞ = a₁/(1−r)（|r|<1）
每一項固定乘同一個數。公比絕對值小於 1 時，無窮多項相加會收斂到一個有限值。
看詳解 →數學歸納法
證 n = 1 成立 → 證「n = k 成立 ⟹ n = k+1 成立」
像推骨牌：先推倒第一張，再證明每一張倒了都會撞倒下一張。
看詳解 →二項式定理
(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ
展開 (a+b)ⁿ 的每一項係數就是組合數，這也是巴斯卡三角形的來源。
看詳解 →Σ 符號與求和公式
Σk = n(n+1)/2 ｜ Σk² = n(n+1)(2n+1)/6
Σ 是「把一連串項加起來」的簡寫。三個基本求和公式要背，其他都靠它們拆。
看詳解 →遞迴數列
aₙ₊₁ = p·aₙ + q → 用不動點化成等比
用前一項定義下一項。標準解法是找不動點，把它化成等比數列。
看詳解 →📊 資料與不確定性
排列
P(n, r) = n! / (n−r)!
取出來還要「排順序」就是排列。判斷關鍵：換位置算不算不同？
看詳解 →組合
C(n, r) = n! / (r!(n−r)!) ｜ C(n, r) = C(n, n−r)
只管選哪些、不管順序。組合就是排列再除掉重複計算的順序數。
看詳解 →條件機率與獨立事件
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
已知 B 發生了，A 的機率是多少。重點是「樣本空間縮小成 B」。
看詳解 →相關係數與迴歸直線
−1 ≤ r ≤ 1 ｜ 迴歸直線通過 (x̄, ȳ)
相關係數量測「兩個變數的線性關聯強度」。相關不等於因果。
看詳解 →環狀排列與重複排列
環狀 (n−1)! ｜ 重複選 nʳ ｜ 有重複元素 n!/(p!q!…)
圍成一圈要除掉旋轉、元素重複要除掉重複、可以重選則用次方。
看詳解 →貝氏定理
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)
把條件反過來問。檢驗很準不代表陽性就一定有病——關鍵在盛行率。
看詳解 →獨立試驗與二項機率
P(恰好 k 次成功) = C(n,k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ
同樣的試驗重複 n 次，恰好成功 k 次的機率——組合數乘上兩種結果的機率。
看詳解 →標準差與資料的離散程度
σ = √(Σ(xᵢ − μ)² / n)
標準差量的是「資料離平均有多遠」。平均一樣的兩組資料，離散程度可能天差地遠。
看詳解 →