高中三年級下學期數學重點
積分及其應用、期望值與常態分布，收尾接大學。
共 12 個概念
📊 資料與不確定性
資料與不確定性
期望值與變異數
E(X) = Σ xᵢpᵢ ｜ Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
期望值是「長期平均會拿到多少」，變異數衡量結果有多分散。
看詳解 →資料與不確定性
常態分布
68–95–99.7 法則
鐘形曲線。約 68% 的資料落在平均值 ±1 個標準差內，95% 在 ±2 個內。
看詳解 →資料與不確定性
統計推論初步
信賴區間 = 樣本統計量 ± 誤差界限
用樣本推論母體。民調的「±3%」講的就是誤差界限，而它跟樣本數有關。
看詳解 →資料與不確定性
二項分布與常態近似
E(X) = np ｜ Var(X) = np(1−p)
n 次獨立試驗的成功次數。n 夠大時它的形狀會接近常態分布。
看詳解 →資料與不確定性
抽樣分布與中央極限定理
樣本平均的標準差 = σ/√n
樣本平均本身也是隨機的。樣本數愈大，它的分布愈集中、也愈接近常態。
看詳解 →∫ 微積分
微積分
反導函數與不定積分
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C（n ≠ −1）
積分是微分的反運算。因為常數微分後變 0，答案一定要加上 +C。
看詳解 →微積分
定積分與面積
∫[a,b] f(x)dx = F(b) − F(a)
定積分是「曲線下的有向面積」，用反導函數在兩端點的差就能算出來。
看詳解 →微積分
積分的應用
旋轉體體積 V = π∫[a,b] [f(x)]² dx
把「無限多個薄片加起來」的想法套到不同情境，就能算體積、位移與平均值。
看詳解 →微積分
變數代換積分法
∫f(g(x))·g′(x)dx = ∫f(u)du，令 u = g(x)
連鎖律反過來用。看到「某個式子和它的導數同時出現」就代換。
看詳解 →微積分
分部積分法
∫u dv = uv − ∫v du
乘積律反過來用。選 u 的順序用 LIATE 口訣，選對了才會愈積愈簡單。
看詳解 →微積分
兩曲線之間的面積
面積 = ∫[a,b] (上方函數 − 下方函數) dx
先求交點定範圍，再積「上減下」。上下關係換邊時必須分段。
看詳解 →微積分
定積分的平均值
平均值 = (1/(b−a))·∫[a,b] f(x)dx
連續量的平均要用積分算：總量除以區間長度。
看詳解 →