高中三年級上學期數學重點
複數、極限與微分——微積分正式登場。
共 12 個概念
🔢 數與量
🧮 代數
∫ 微積分
微積分
極限與連續
lim(x→a) f(x) = L；連續 ⟺ 極限值 = 函數值
極限問的是「愈來愈靠近時趨向什麼」，跟該點本身有沒有定義無關。
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導數的定義
f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) − f(x)] / h
導數是「瞬間的變化率」，幾何上就是切線斜率。它由割線斜率取極限而來。
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微分法則
(xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ｜ (uv)' = u'v + uv' ｜ 鏈鎖律 (f(g))' = f'(g)·g'
有了這幾條規則就不必每次回到定義。乘積律和鏈鎖律是最常用也最常錯的。
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函數的極值與圖形
f'(x) = 0 找臨界點；f''(x) 判斷凹向
一階導數找出可能的極值點，二階導數判斷是極大還是極小。
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數列的極限與收斂
|r| < 1 時 rⁿ → 0 ｜ 夾擠定理
數列項數趨向無窮時會不會逼近一個定值。判斷收斂比計算更重要。
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連續與中間值定理
f 在 [a,b] 連續且 f(a)·f(b) < 0 ⟹ (a,b) 內有根
連續函數不會憑空跳過某個值。這給了「一定有根」的嚴格保證。
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連鎖律與隱函數微分
[f(g(x))]′ = f′(g(x))·g′(x)
合成函數要「由外往內剝，每剝一層乘一次」。內層導數最常被漏掉。
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相關變化率
找出關係式 → 兩邊對時間 t 微分 → 代入瞬間值
兩個量有關係，變化速度也有關係。關鍵是「先微分完再代數字」。
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微分的最佳化應用
設變數 → 寫目標函數 → 用限制式消成單變數 → 微分求極值
把「最省材料」「利潤最大」翻成一個函數，再用微分找極值。
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