三角函數其實不是為了三角形
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
國中學 sin、cos 的時候，它們是三角形的邊長比：對邊比斜邊、鄰邊比斜邊。
那時候的角只能是 0 到 90 度，因為超過 90 度就畫不出直角三角形了。
高中一開始，老師會說：sin 120 度等於根號 3 除以 2。
等等，120 度的直角三角形長什麼樣？
沒有那種三角形。因為到了高中，三角函數已經換了一個定義——它不再綁在三角形上，而是綁在圓上。
的作法是：在座標平面上畫一個半徑 1 的圓，從正 x 軸開始逆時針轉一個角。轉到的那一點，橫坐標就是 cos，縱坐標就是 sin。
這個定義有幾個好處。
第一，角度可以無限延伸。轉 120 度、轉 200 度、轉 750 度都沒問題，甚至可以往回轉成負角。三角形做不到的事，圓做得到。
第二，正負號自然出現。轉到第二象限，橫坐標是負的，所以 cos 120 度是負值。不用另外背「哪一象限哪個為正」的口訣，看點在哪裡就知道。
第三，週期性一目了然。轉一圈回到原點，所有的值重來一次。所以 sin(θ + 360°) = sin θ。這不是規定，是圓轉回來了。
而週期性正是三角函數真正的用途所在。
任何會重複的東西——聲波、光波、交流電、潮汐、心跳、一年的日照長度——都可以用三角函數描述。畫出來的那條波浪，不是三角形的什麼，它是「循環」這件事的數學形狀。
音樂的每一個音都是一條正弦波，頻率決定音高、振幅決定音量。把好幾條不同頻率的波疊起來，就得到樂器的音色。處理的就是疊加之後會發生什麼。
所以「三角函數」這個名字有點誤導。它從三角形開始，但真正的舞台在圓和波。
那國中學的邊長比作廢了嗎？沒有。在 0 到 90 度之間，兩個定義給出完全一樣的值。單位圓只是把定義域擴大了，舊的結果全部保留。
這是數學常見的擴張方式：不推翻舊的，而是找一個更大的框架把舊的裝進去。負數擴張了自然數，分數擴張了整數，單位圓擴張了直角三角形。