內積在量的是「方向有多一致」
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
推一個箱子，你出的力是斜的，箱子卻只往前走。
物理課會說：只有「沿著移動方向的那個分量」在做功，垂直的分量白費了。
這句話寫成數學，就是內積。
的公式有兩個長相。座標形式是 a₁b₁ + a₂b₂，幾何形式是 |a||b|cos θ。第一個好算，第二個好懂。
好懂在哪？|a||b|cos θ 裡的 cos θ 就是「方向一致的程度」。
兩個向量同向，θ 是 0 度，cos 是 1，內積最大。 兩個向量垂直，θ 是 90 度，cos 是 0，內積是 0。 兩個向量反向，θ 是 180 度，cos 是 −1，內積是負的最大。
所以內積的正負在告訴你：這兩個方向大致相同（正）、大致相反（負），還是完全無關（零）。
「內積為零就是垂直」這件事因此不需要背。cos 90 度是 0，內積自然是 0。反過來，只要兩個非零向量的內積是 0，夾角一定是 90 度。
這給了一個超好用的工具：判斷垂直不用畫圖，算一下就好。兩條直線垂不垂直、一條線和一個平面垂不垂直，都可以用內積驗。
是同一件事的另一個角度。把 a 投影到 b 上，投影長度就是 |a|cos θ，也就是內積除以 |b|。剛才推箱子的例子，有效的力就是力向量在位移方向上的投影。
有一個地方要特別小心：內積的結果是一個數，不是向量。
a·b 是純量。你不能問「內積的方向是什麼」，它沒有方向。這跟外積不一樣——外積出來才是向量。很多人會把兩者的性質記混。
另一個常見錯誤是把內積當成可以消去。a·b = a·c 不能推出 b = c。舉例：a = (1,0)，b = (2,5)，c = (2,−3)。a·b = 2，a·c = 2，但 b 和 c 完全不同。因為內積只看得到 b、c 在 a 方向上的分量，垂直方向的差異它看不見。
這也正是內積的本質：它是一個「投影量」，刻意丟掉了垂直方向的資訊。丟掉資訊不是缺點，是它有用的原因——推箱子的時候，你本來就只在乎沿著前進方向的那一部分。