國二上生活數學 · 5 分鐘
根號不是「除不盡」，它是一個長度
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
根號 2 等於多少？
按計算機會得到 1.41421356…，小數點後面沒有盡頭，也沒有循環。有人因此覺得它「算不出來」，是個不完整的答案。
其實它非常明確：根號 2 就是邊長 1 的正方形，那條對角線的長度。
拿一張正方形紙，邊長一公分，對折成三角形，那條摺線的長度就是根號 2 公分。你可以量它、可以剪它、可以拿它去比。它是一個實實在在的長度，只是沒辦法寫成兩個整數相除。
這件事在數學史上引起過麻煩。古希臘人相信所有的量都能寫成整數比。發現根號 2 不行的時候，那是一次不小的震撼——原來數線上有一大堆數字，是分數填不滿的。
要建立的第一個觀念就是：根號是在問「什麼數平方後會等於它」。根號 9 是 3，因為 3 的平方是 9。根號 2 是某個介於 1.4 和 1.5 之間的數，因為 1.4 的平方是 1.96、1.5 的平方是 2.25。
所以估計根號的大小其實不難：找出它夾在哪兩個完全平方數之間。根號 50 夾在根號 49 和根號 64 之間，也就是 7 和 8 之間，而且比較靠近 7。
化簡也是同一個邏輯。根號 50 等於根號 25 乘以根號 2，等於 5 根號 2。把裡面的完全平方因數拿出來，就化簡完了。
有兩個地方特別容易錯：
第一，根號 a 加根號 b 不等於根號 (a+b)。根號 9 加根號 16 是 3 加 4 等於 7，但根號 25 是 5。差很多。加法不能直接搬進根號裡。
第二，根號 x 的平方等於 x，但 x 的平方開根號等於 x 的絕對值。如果 x 是負的，這兩個結果不一樣。負 3 的平方是 9，根號 9 是 3，不是負 3。
之所以會製造出一堆根號，就是因為斜邊的長度多半不是整數。而那些根號，每一個都是一段畫得出來的長度。