國三下生活數學 · 5 分鐘
樹狀圖是為了不漏掉
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
丟兩枚硬幣，兩個都是正面的機率是多少？
有人這樣想：結果有三種——兩正、兩反、一正一反。所以兩正的機率是三分之一。
錯了。正確答案是四分之一。
問題出在「一正一反」其實有兩種情況：第一枚正第二枚反，第一枚反第二枚正。把它們算成一種，三個結果的機率就不相等了，不能直接用「幾分之一」。
存在的理由就是這個：它強迫你把每一步的每一種可能都畫出來，不會不小心把兩種情況併成一種。
畫法很直接。第一枚硬幣分兩條枝：正、反。每一條枝的末端再分兩條：正、反。四條路徑，分別是正正、正反、反正、反反。每條路徑機率相同，兩正就是四分之一。
樹狀圖真正發揮威力的是機率不相等的時候。
袋子裡有 3 顆紅球、2 顆白球，連續抽兩顆不放回。兩顆都是紅的機率是多少？
第一次抽紅的機率是五分之三。抽走一顆紅球之後，袋子裡剩 2 紅 2 白，第二次再抽到紅的機率是四分之二。
沿著路徑相乘：五分之三乘以四分之二等於十分之三。
這裡有兩條規則：沿著一條路徑走要相乘，不同路徑之間要相加。
「至少一顆紅球」的機率呢？可以把紅白、白紅、紅紅三條路徑加起來。也可以用反面思考：一減去「兩顆都是白球」的機率。後者只要算一條路徑，快得多。
要注意的就是放回與不放回的差別。放回的話，第二次抽的條件跟第一次完全一樣，兩步互相獨立；不放回的話，第二步的分母會少一，而且分子取決於第一步抽到什麼。樹狀圖會逼你把這件事寫出來。
考試最常設的陷阱，就是題目沒有明說要不要放回。看到「連續抽兩次」，先找有沒有「放回」兩個字。沒有寫的話，多半是不放回——但值得在答案卷上把假設寫清楚。