對數是把很大的數字縮小到看得懂
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
地震規模 7 比規模 6 強多少？
答案不是強一點點，是強約 32 倍。因為地震規模用的是對數尺度。
我們日常會遇到的量，有些跨度大到沒辦法用一般刻度畫。地震釋放的能量從幾焦耳到幾百兆焦耳，聲音強度從蚊子拍翅到噴射機起飛差了一兆倍。要把這種資料畫在同一張圖上，只能壓縮。
就是做這件事的工具。log 10000 = 4，因為 10 的 4 次方是 10000。對數把「幾個零」抽出來當答案，於是一萬、十萬、百萬變成 4、5、6——好記、好比、好畫。
所以 log 在問的是：「10（或其他底數）要幾次方才會變成這個數？」
理解這句話之後，那幾條規則就不需要死背了：
log(ab) = log a + log b。因為 10^m × 10^n = 10^(m+n)，指數相乘變相加，取對數之後自然就是加法。
log(a/b) = log a − log b，同理。
log(a^n) = n log a。因為 (10^m)^n = 10^(mn)。
換句話說，對數把乘法降級成加法、把次方降級成乘法。在計算機發明之前，這正是它被創造出來的原因——天文學家要算大數相乘，用對數表可以把乘法變成查表加法，快很多。
是以 10 為底的對數，最常拿來估算位數。一個數的常用對數整數部分加一，就是它的位數。log 5000 ≈ 3.7，整數部分是 3，所以 5000 是四位數。
考試很愛考「2 的 100 次方是幾位數」。直接算會爆掉，用對數就是 100 × log 2 ≈ 100 × 0.301 = 30.1，整數部分 30，所以是 31 位數。
有兩個地方最常錯：
log(a+b) 不等於 log a + log b。加法沒有對應的對數規則。log a + log b 等於 log(ab)，是乘法。
真數必須大於零。log 0 和 log 負數都沒有定義，因為 10 的任何次方都不會等於零或負數。解的時候，算出來的解一定要代回去檢查真數，不合的要捨去——這一步漏掉是最常見的失分。
回到地震。規模每差 1，能量差約 31.6 倍（10 的 1.5 次方）。規模 9 比規模 7 強大約一千倍。
新聞說「規模只差 2」的時候，那個「只」字是誤導的。