考題練習

已知 sin θ = 3/5 且 θ 為銳角，則 sin 2θ 的值為何？（以最簡分數表示）

函數 y = 3 sin θ + 4 cos θ 的最大值為何？

點 (1, 2) 到直線 3x + 4y − 5 = 0 的距離為何？（以最簡分數表示）

圓 x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0 的半徑為何？

向量 a = (3, 4) 的長度為何？

向量 a = (1, 2) 與 b = (3, 4) 的內積為何？

空間中兩點 A(1, 2, 3) 與 B(4, 6, 3) 的距離為何？

空間向量 a = (1, 2, 2) 的長度為何？

空間直線 (x−1)/2 = (y+3)/(−1) = z/4 的一個方向向量為 (a, b, c)，則 a + b + c 的值為何？

橢圓 x²/25 + y²/9 = 1 的長軸長為何？

矩陣 A = [[3, 1], [2, 4]] 的行列式值為何？

用克拉瑪公式解聯立方程式 2x + y = 8、x + 3y = 9，則 x 的值為何？

小明買了 3 支筆和 2 本筆記本共花 210 元；小華買了 1 支筆和 4 本筆記本共花 220 元。 請列出聯立方程式並求出一支筆的價錢，並寫出你的計算過程。

籠子裡有雞和兔子，共 35 個頭、94 隻腳。 請設未知數列出方程式，求出雞有幾隻，並寫出完整的計算過程。

某展覽的門票，成人票每張 200 元、兒童票每張 120 元。 某家庭買了 8 張票，共花 1200 元。 請設未知數列出聯立方程式，求出成人票買了幾張，並寫出完整的計算過程。

兩個連續正整數的乘積是 156。 請設未知數列出方程式，求出這兩個整數，並寫出完整的計算過程。

在 △ABC 中，已知 AB = AC，AD 是 ∠BAC 的角平分線，D 在 BC 上。 請證明 BD = CD，並寫出完整的證明過程（每一步都要寫出理由）。

如圖，AB 是圓 O 的直徑，C 是圓上一點，AC = 6、BC = 8。 (1) 請說明 ∠ACB 是幾度，並寫出理由。 (2) 求圓 O 的半徑。 請寫出完整的推理過程。

袋中有 4 顆紅球與 6 顆白球，大小材質皆相同。 (1) 隨機取出一球，取到紅球的機率是多少？ (2) 若取出一球「不放回」後再取一球，兩次都取到紅球的機率是多少？ 請寫出完整的計算過程。