排列和組合的差別只有一件事：順序算不算
接棒數學編輯室 · 2026 年 8 月
從五個人裡面選三個，有幾種選法？
這一題沒辦法回答，因為題目不完整。要先問：選出來要做什麼？
如果是選出正副班長和學藝股長，那三個位置不一樣，誰當什麼有差別。這是，答案是 5×4×3 = 60 種。
如果是選出三個人去打掃，三個人地位相同，誰先被選到沒差別。這是，答案是 60 ÷ 6 = 10 種。
為什麼要除以 6？因為同樣三個人（比如甲乙丙），在排列裡被算了 6 次：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲。它們在組合裡是同一種選法，所以要把重複的除掉。三個東西的排列數是 3! = 6，所以除以 6。
這就是那兩個公式的關係：C(n,r) = P(n,r) ÷ r!。
判斷用哪一個，只要問一句話：換順序算不算不同？
算 → 排列。不算 → 組合。
幾個實際的例子：
密碼鎖的四位數字，1234 和 4321 是不同的密碼 → 排列。 樂透選六個號碼，開出的順序不影響中獎 → 組合。 賽跑前三名，金銀銅有差 → 排列。 從十道題選五題作答 → 組合。 把五本書排在書架上 → 排列。 從五本書挑三本帶出門 → 組合。
有一種題目會兩個都用到：從 8 男 5 女中選 3 男 2 女組成小組，再從小組中指定一個組長。前半段是組合（選人），後半段是排列（指定職位）。
還有一個地方要小心：有重複元素的排列。
「MATH」四個字母排列有 4! = 24 種。但「BOOK」有幾種？不是 24，是 12。因為兩個 O 交換位置看起來一樣，每一種排法都被重複算了 2 次。
處理的就是這一類：重複元素、圓桌排列、有限制條件的排法。原則都一樣——先當成全部不同來算，再把「其實看不出差別」的那些除掉。
計數問題的錯誤幾乎都是同一種：重複計算，或者漏算。做完之後用小數字驗算一次，是最省時間的檢查方式——把 5 個人改成 3 個人，手動列出來數一遍，看跟公式算的一不一樣。