考題練習

向量 a = (2, 3) 與 b = (3, −2)，則兩向量的關係為何？

• A平行
• B垂直
• C夾角 45°
• D夾角 60°
• E同方向

已知 |a| = 3、|b| = 4，且 a 與 b 的夾角為 60°，則 a·b 的值為何？

• A12√3
• B7
• C6
• D12
• E6√3

空間向量 a 與 b 的外積 a × b，其幾何意義為何？

• A一個純量，等於兩向量的夾角
• B一個向量，長度恆為 1
• C一個純量，等於 |a||b|cos θ
• D一個向量，垂直於 a 與 b 所張成的平面
• E一個向量，方向與 a 相同

平面 2x − y + 3z = 6 的一個法向量為何？

• A(2, 1, 3)
• B(−2, 1, 3)
• C(1, 1, 1)
• D(6, 0, 0)
• E(2, −1, 3)

若直線的方向向量與平面的法向量內積為 0，則直線與平面的關係為何？

• A平行或直線在平面上
• B相交於一點且不垂直
• C重合
• D無法判斷
• E垂直

拋物線 y² = 8x 的焦點坐標為何？

• A(0, 2)
• B(2, 0)
• C(0, 8)
• D(8, 0)
• E(4, 0)

若二階方陣 A 的行列式 det A = 0，則下列敘述何者正確？

• AA 一定是零矩陣
• BA 沒有反矩陣
• CA 的反矩陣等於 A
• DA 一定是單位矩陣
• E以 A 為係數的聯立方程式一定有唯一解

用高斯消去法化簡某三元一次聯立方程組後，出現一列「0 0 0 | 5」。這代表什麼？

• A計算一定有誤
• B有唯一解
• C有無限多組解
• D無解
• E解為 x = y = z = 5

在平面上，矩陣 [[0, −1], [1, 0]] 所代表的線性變換為何？

• A繞原點順時針旋轉 90°
• B放大 2 倍
• C對 x 軸鏡射
• D對 y 軸鏡射
• E繞原點逆時針旋轉 90°

設 a > 0 且 a ≠ 1。下列哪些選項恆成立？（多選）

• Alog_a(xy) = log_a x + log_a y（x, y > 0）
• Blog_a(x + y) = log_a x + log_a y（x, y > 0）
• Clog_a(x^n) = n·log_a x（x > 0）
• Dlog_a(x/y) = log_a x − log_a y（x, y > 0）
• Elog_a 1 = 1

設 a > 0 且 a ≠ 1，x、y 為正數。下列哪些敘述恆成立？（多選）

• Alog_a a = 1
• Blog_a (x²) = 2 log_a x
• C(log_a x)² = 2 log_a x
• Dlog_a (1/x) = −log_a x
• Elog_a x ÷ log_a y = log_a (x − y)

關於方程式 x² − 6x + 5 = 0，下列哪些敘述正確？（多選）

• A兩根之和為 6
• B兩根之積為 5
• C有兩相異實根
• D兩根都是正數
• E兩根之和為 −6

關於排列與組合，下列哪些敘述正確？（多選）

• AC(n, r) = C(n, n−r)
• BP(n, r) = C(n, r) × r!
• CC(n, 0) = 1
• Dn 個相異物的環狀排列有 n! 種
• EP(5, 2) = 20

將一組資料的每個數值都加上 5，下列哪些統計量會改變？（多選）

• A平均數
• B中位數
• C標準差
• D變異數
• E全距

下列哪些三角恆等式成立？（多選）

• Asin²θ + cos²θ = 1
• Bsin 2θ = 2 sin θ cos θ
• Ccos 2θ = cos²θ − sin²θ
• Dsin(A + B) = sin A + sin B
• Etan θ = sin θ / cos θ（cos θ ≠ 0）

設 a、b 為非零向量。下列哪些敘述正確？（多選）

• Aa·b = b·a
• Ba·b 的結果是一個純量
• C若 a·b = 0，則 a 與 b 垂直
• D|a·b| = |a| |b| 恆成立
• Ea·a = |a|²

關於雙曲線 x²/16 − y²/9 = 1，下列哪些敘述正確？（多選）

• A中心在原點
• B貫軸（實軸）在 x 軸上
• Ca = 4、b = 3
• D漸近線方程式為 y = ±(3/4)x
• E焦點在 y 軸上

設 A、B 為二階方陣。下列哪些敘述恆成立？（多選）

• Adet(AB) = det(A) · det(B)
• BAB = BA
• C(A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
• D若 A 可逆，則 det(A) ≠ 0
• E(AB)⁻¹ = A⁻¹B⁻¹（當兩者皆可逆）

從 8 個人中選出 3 人組成委員會（不分職務），共有幾種選法？

等比數列 3, 6, 12, 24, … 的前 5 項和為何？

方程式 |2x − 1| = 5 的兩根之和為何？

不等式 x² − 4 ≤ 0 的解為 a ≤ x ≤ b，則 b − a 的值為何？

多項式 f(x) = x³ − 2x + 1 除以 (x − 2) 的餘式為何？

若 (x − 2) 是多項式 x³ + kx − 4 的因式，則 k 的值為何？

8^(2/3) 的值為何？